• 2007-01-22

    问题的层次 - [胡思乱想]

    Tag:乱想

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    评价一个人的水平、层次、品味、境界,中国人总是要用一些玄乎又玄的东西。什么“见山是山,见水是水”啦,什么“见山不是山,见水不是水”啦;又是“为伊消得人憔悴”啦,又是“那人又在灯火阑珊处”啦。总之都是一些可意会不可言传的。

    前一阵看《具体数学》(其实所谓的前一阵已经是几个月前的事了,近一个多月来事务烦多,很多东西都丢下了),发现作者提出的对数学问题的层次划分比起国人来是非常的实在,到底是搞自然科学的,又是数学这种理论性极强的学科。

    下面一大段就是来自书上的,当然不是原文,作了删改,文章里很多的数学符号无法输入(真正的原文是E文,我看的是中文版的超星格式电子书,不晓得如何复制粘贴整段文字,曾也想找找原版的其他格式的电子书,刚好碰到前段日子地震,网络状况不佳,所以就作罢,反正能看就行)

     

        层次1  结定一个明显的元素和一个明显的性质P(x),证明P(x)为真。这里问题涉及到找某个表明事实的证明。

        层次2  给定一个明显的集合X和一个明显的性质P(x),证以对于所有xXP(x)为真。问题又涉及找一个证明,但是此时证明一定要是一般的。我们研究代数,而不仅仅是算术。

        层次3  给定一个明显的集合X和一个明显的性质P(x),证明或推翻对于所有xXP(x)为真。这里有一个不确定的附加层次,但总归结果可以达到。这是接近于一个数学家常面临的实际场合:进入书本的断言往往会真,但是新事物必须用有偏见的眼光来考虑。若命题为假,我们的任务是找一个反例。若命题为真,我们—定要找像层次2那样的一个证明。

        层次4  给定一个明显的集合X和一个明显的性质P(x),找P(x)为真的一个充要条件Q(x)。问题是找Q使得P(x)óQ(x)。当然,总有—个平凡的解答,我们能取P(x)óQ(x)。但是暗指的要求是找一个尽可能简单的条件,要求创造性地发现一个成立的简单条件。找Q(x)所需发现的特佳元素使这类问题相当困难,但是在“现实世界”中,这是数学家一定要做的较典型的问题。最后,当然给出的一个证明一定要P(x)为真当且仅当Q(x)为真。

    层次5  给定一个明显的集合X,找出它的元素的一个有趣的性质P(x)。现在我们处于纯研究的可怕的范围内,在这里学生可能认为这完全是不规则的领域。这是实际的数学,教科书的作者很少敢询问层次5的问题。

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    奥赛朝朝拿金牌,诺贝年年不获奖,这里面的因素许多许多。其中问题的层次差异是一个方面。奥赛是什么,奥赛其实就是做题,只是它的题比较高深而已,但不管如何高深,那些多是层次1与层次2的问题,充其量有些达到层次3(可能我见少识浅,没见过更高层次的问题)。而诺贝尔的那些老头们研究的都是层次4及层次5的问题,当然数学没诺奖的,这里的问题层次论要扩而充之。

    层次1属于见招拆招,我们从小到大的大多数考试中遇到的问题多属这个层次,我们工作中遇到的大多数问题也多属这个层次。层次2开始见招不忙拆招,开始准备寻求一般性解决问题的方法,但归根结底还是要拆的,工作学习中碰上问题多了大概都可以到达这一层,这种带点综合的思维方式,我们的教育中总还是有的,我们见多识广了后总还是会领会的。层次3是见招不拆招,开始有了不确定因素,“非确定性”在十八、十九世纪的思维中是被视为洪水猛兽的,所以除非在你成长过程中遇上了“明师”,基本上你是不会触及这个层次的问题的,只有问题来找你,而层次3正是实际工作生活中时不时会碰到的问题,所谓“不是问题的问题”与“问题的不是问题”,层次3问题的解决一般已经不能循常规了。前三个层次基本是着眼于解决问题,解决目前出现的问题。而层次4是发现问题,是从眼前境况中发现问题并解决之,是见招创招了。而层次5则更恐怖,完全是不见招而创招了。

    后面这二个层次――层次4与层次5,跟前三个层次是有天壤之别的,如果前三个层次是人类社会发展的基础,那后二个层次就是人类社会发展的助力,人类的视野正是随着一个个层次4与层次5的问题出现而拓宽的。如果一个人、一个国家、一个民族总是把自己定位于前三个层次,总是心甘情愿甚至是沾沾自喜地解决一些前三个层次的问题,那将是没有任何前途的,而且是一丁点的前途也没有。因为低层次的问题解决者是很容易找到替代者的,比如象层次1那种问题解决者,不但可以用别人来代替,而且可以用机器来代替,这种见招拆招的方式现在计算机已经有一定水准了。

    等到将来某一天,有更廉价的劳动力有更廉价的机器出现时,我们的所谓世界工厂就要轰然倒塌了,希望到那时我们已经有一群处于层次4与层次5的人了。那则幸甚幸甚,否则悲矣悲矣。

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